РАЗНОСТНАЯ ВАРИАЦИОННАЯ СХЕМА

разностная схема, построенная на основе вариационной задачи, соответствующей краевой задаче для дифференциального уравнения. Основная идея построения Р. в. с. состоит в том, чтобы при специальном выборе координатных функций в Ритца методе получить систему линейных алгебраич. уравнений, совпадающую по структуре с системой разностных уравнений;обычно неизвестными параметрами являются приближенные значения в узлах сетки точного решения и, возможно, нек-рых его производных. В качестве таких координатных функций можно использовать кусочно линейные, полилинейные и др. функции.

Разностные схемы можно получать также, выбирая специальным образом координатные функции в Галеркина методе. Метод получения разностных схем с помощью метода Галеркина наз. вариационно-разностным методом (или проекционно-разностным методом). Вариационно-разностный метод иногда наз. методом конечных элементов, хотя последнее название употребляется в более общем смысле.

Пусть поставлена краевая задача:

(1)

(2)

где f(x) - непрерывная функция, р(x) - непрерывно дифференцируема и

Умножение (1) на произвольную функцию j(x), удовлетворяющую условиям (2), и интегрирование по х:

приводит к тождеству

(3)

к-рому удовлетворяет решение задачи (1), (2). Справедливо и обратное утверждение: функция и(х), удовлетворяющая граничным условиям (2) и тождеству (3) при произвольных функциях j(x), j(0) = j(1)=0, является решением задачи (1), (2).Тождество (3) используется для построения приближенного решения методом Галеркина. Промежуток [0,1] разбивается на N частей точками x_i=ih, i=l,. . ., N-1, h=N^-l. Множество {x_i} наз. сеткой, точки х _i - узлами сетк-и, h - ш а г о м сетки. В качестве координатных функций в методе Галеркина берутся функции

где

Функции j_i(x)=0 вне промежутка [x_i-1, x_i+1]. Это свойство координатных функций принято называть свойством локальности. Пусть приближенное решение задачи ищется в виде

⁽⁴⁾

где - искомые параметры, к-рые являются значениями приближенного решения в узлах сетки:

Пусть К - множество функций вида (4). Функции из Клинейны на промежутках [ х _i, x_i+₁], непрерывны на [0,1] и равны нулю при х=0 и х=1. Система метода Галеркина получается при подстановке в (3) функции вместо и(х).и функций j_i(x)вместо j(x):

(5) При этом

и

лишь для j=i -l, i, i+1, т. е. в каждом уравнении имеется не более трех неизвестных. Система (5) может быть записана в виде

где

Эта система по структуре сходна с обычной разностной. Системы уравнений, полученные таким способом, и наз. разностными вариационными схемами. В отличие от обычных разностных схем коэффициенты и f_i являются не значениями функций ри f в фиксированных точках, а их усреднениями. Это обстоятельство позволяiет использовать Р. в. с. для уравнений с "плохими" (напр., разрывными) коэффициентами .

Пусть L_h={L(jj, j_i)} - матрица системы (5). Так как L(jj, j_i)=L(j_i, j_j), то матрица L_h симметрична. Имеет место равенство

где - произвольный вектор из евклидова пространства E_N-1 размерности N-1, (.,.) - скалярное произведение в Е _N-1,

Изнеравенства

справедливого для произвольной непрерывной и дифференцируемой функции, удовлетворяющей условию и(0) = (0), следует оценка

из к-рой выводится неравенство

(6)

Матрица L_h положительно определена; система (5) однозначно разрешима.

При малых значениях hсистема (5) состоит из большого числа уравнений. Точность решения системы ал-гебраич. уравнений и объем необходимой для этого работы в большой степени зависят от величины т. н. числа о б у с л о в л е н н о с т и матрицы системы, где и - наибольшее и наименьшее собственные значения матрицы L_h. Из неравенства (6) следует, что . Справедлива также оценка

Число обусловленности P=O(h ^{- 2}), что совпадает по порядку hс известными оценками для матриц обычных разностных схем.

Сходимость приближенного решения к точному доказывается по обычной для метода Галеркина схеме. Из (3) и (5) для произвольной функции j из Кследует,

что

₍₇₎

откуда

(8)

где w - произвольная функция из К. Правая часть (8) оценивается с помощью неравенства

Таким образом, ,

Обозначение ;

(число наз. энергетической нормой функции и).позволяет переписать последнее неравенство в виде

Оценка погрешности Р. в. с. сводится к оценке наилучшего приближения точного решения функциями класса К. Если в качестве взять кусочно линейную функцию

совпадающую с функцией и(х).в узлах сетки, то справедлива оценка:

где С - постоянная.

На рассмотренном примере видны нек-рые характерные черты вариационно-разностного метода: локальность координатных функций, обеспечивающих близость Р. в. с. по структуре к разностным схемам, и применимость техники проекционных методов к исследованию сходимости Р. в. с.

Основным при построении Р. в. с. является выбор локальных координатных функций, обладающих требуемыми аппроксимационными свойствами. Задача аппроксимации ставится в различных функциональных пространствах. Для задач математич. физики важны пространства Соболева , т. е. линейные множества функций с конечной нормой

где - область в , l - неотрицательное целое

число, a= (a₁,...,a_n) - вектор с целочисленными координатами,

Многие классы локальных координатных функций строятся по следующей схеме. Пусть заданы функции , принадлежащие и равные нулю вне n-мерного куба , j=1,2,. . .,п. Пусть h=(h_l,. . .,h_n) - заданный вектор с положительными координатами, i=(i₁,. . ., i_n) - произвольный целочисленный вектор,

Через Iобозначено множество векторов i таких, что n-мерный параллелепипед ,. . ., п, пересекается с . Для данной области в качестве координатных функций выбираются функции вида

т. е. функции, полученные из исходных функций масштабированием аргументов и сдвигом на вектор i. Такие координатные функции принято называть регулярными. Пусть классом Кназ. множество функций вида

Если любой полином P_l-I степени lот можно представить как линейную комбинацию ,. . ., , то для произвольной функции можно указать функцию такую, что справедливо аппрок-симационное неравенство

(9) где h=max h_j, С не зависит от h и u.

Р. в. с. для краевых задач для эллиптич. уравнений строятся на основе эквивалентных задач нахождения функций, удовлетворяющих интегральным тождествам. Многие из этих задач состоят в нахождении функции , удовлетворяющей при произвольной функции интегральному тождеству

(10)

где S - граница и f(х).- заданные функции. Предполагается, что

и

Применение к (10) метода Галеркина с координатными функциями приводит к Р. в. с. для задачи (10). Пусть решение и(х).задачи (10) принадлежит , l>m, и функции удовлетворяют условиям, при к-рых справедливо неравенство (9). Для оценки погрешности Р. в. с. используют стандартную технику метода Галеркина:

где - приближенное решение.

Задачи вида (10), для к-рых в качестве функции j может быть взята произвольная функция из , наз. задачами с естественными краевыми условиями. Существует другой класс краевых задач, в к-рых на границе S ставятся краевые условия вида

(11)

В этом случае краевым условиям (11) в тождестве (10) должны удовлетворять и функции . Для приближенного решения таких задач методом Галеркина необходимо, чтобы координатные функции удовлетворяли условиям (11). Введенные выше координатные функции , в силу самого способа их построения, вообще говоря, не пригодны для представления приближенного решения, удовлетворяющего условиям (11).

Один из приемов построения Р. в. с. для задач с краевыми условиями вида (11) связан с использованием метода штрафа. Пусть, напр., требуется решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона. Эта задача эквивалентна определению функции и(х), , удовлетворяющей при произвольной функции j (х), , интегральному тождеству

В методе штрафа вводится в рассмотрение функция , удовлетворяющая при произвольных функциях (j интегральному тождеству

Функция является решением задачи с естественным краевым условием. Доказывается, что при малых значениях e решения и близки. Для приближенного решения последней задачи можно применить Р. в. с. с использованием регулярных координатных функций.

Общий способ построения координатных функций таков.

Пусть для произвольного положительного числа hв задано множество точек , i=l, 2,. . ., N, наз. узлами сетки, такое, что каждая точка области отстоит от какого-либо узла не более чем на h. Пусть для каждого узла определен набор функций ,. . .,

из , удовлетворяющих заданным граничным условиям (11), причем , где Мне зависит от i и h. Пусть при каждом iи всех j интеграл

отличен от нуля лишь для числа индексов k, ограниченного числом, не зависящим от iи h(условие локальности координатных функций). Пусть К - класс функций вида

где - числовые параметры.

Если решение и(х).краевой задачи может быть приближено функциями класса Кс точностью, характеризуемой неравенством

то для решения, полученного при помощи Р. в. с., справедлива оценка погрешности

Нерегулярные сетки применяются иногда для более полного учета свойств задачи. Напр., для более точного воспроизведения функции в окрестности угловой точки границы можно расположить узлы на радиально-кольцевой сетке.

Для численной реализации матрица Р. в. с. должна обладать не слишком плохой обусловленностью. Для задач вида (10) оптимальной считается обусловленность, выражаемая соотношением , где Р - число обусловленности матрицы Р. в. с., N - число узлов сетки, п - размерность пространства, содержащего область . Для многих конкретных задач такая обусловленность действительно имеет место.

Использование Р. в. с. сочетает достоинства метода сеток и проекционных методов. Структура Р. в. с. позволяет использовать экономичные методы решения разностных схем. Легко устанавливается разрешимость Р. в. с.: матрица Р. в. с. положительно определена, если положительно определен дифференциальный оператор. Вопрос о сходимости сводится к вопросу об аппроксимации точного решения координатными функциями Р. в. с., и, следовательно, скорость сходимости определяется дифференциальными свойствами точного решения. Р. в. с. можно применять при весьма слабых ограничениях на данные задачи.

Исследования по Р. в. с. проводятся в следующих основных направлениях:

1) создание координатных функций, удовлетворяющих краевым условиям, исследование их аппроксимационных свойств;

2) получение оценок точности в различных нормах;

3) построение Р. в. с. для задач, имеющих те или иные особенности (линии разрыва коэффициентов, угловые точки границы и т. д.);

4) разработка методов решения Р. в. с. и способы оптимизации методов решения;

5) решение нелинейных уравнений;

6) применение Р. в. с. для нестационарных уравнений,

Лит.:[1] О г а н е с я н Л. А., Р и в к и н. , F i x G., An analysis of the finite element method, Englewood Cliffs, 1073; [3] A u b i n J.-P., Approximation of elliptic boundary - value problems, N. Y., 1972; [4] В а р г а Р., Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе, пер. с англ., М., 1974; [5] М и х л и н С. Г., "Зап. научн. семинаров ЛОМИ", 1974, т. 48, с. 32-188; [6] М а р ч у к Г. Л. А. Оганесян.